Le Grand Oral en Physique : Sujets autour du Basket-ball

Le Grand Oral est une épreuve idéale pour que chaque élève développe ses compétences oratoires et travaille sur des sujets qui l’intéressent. Les élèves, pour cette grande épreuve, peuvent choisir des sujets parmi leurs spécialités. Si l'on croise avec la spécialité physique chimie, les sujets sont nombreux et passionnants.

Analyse de la trajectoire du ballon

Il est légitime pour un joueur de basket-ball de se demander comment obtenir la trajectoire la plus efficace pour marquer un panier. Un site internet spécialisé dans le basket-ball donne le conseil suivant : « privilégier un angle de tir entre 47° et 55° par rapport à l’horizontale. On préconise les tirs en cloche de façon à avoir une exploitation maximale de la surface du panier ».

Première modélisation

Dans un premier temps, on s’intéresse au mouvement du centre de masse M d’un ballon lorsqu’un joueur réalise un lancer-franc. On réalise l’étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen et on considère qu’une fois lancé, le ballon n’est soumis qu’à son propre poids. On néglige donc toute force de frottement de l’air sur le ballon.

Quand le ballon quitte la main du joueur, son centre de masse M est situé à une hauteur Hm = 2,30 m par rapport au sol et à une distance horizontale L = 4,6 m du centre C de l’arceau du panier. On étudie le mouvement dans le repère cartésien indiqué sur la figure 1 : le plan (Oxy) est un plan vertical contenant la main du basketteur au moment où il lâche le ballon et le centre C de l’arceau. L’instant initial est l’instant où le ballon quitte la main, avec un vecteur vitesse initial v0→ qui forme un angle α avec l’axe horizontal. L’angle α est supposé différent de 90°.

• Montrer que dans le plan (Oxy), les coordonnées du vecteur a→(t) accélération du centre de masse M du ballon peuvent s’écrire : a→(t) ax(t)=0 ay(t)= -g.
• Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse v→(t) du point M à chaque instant, notées : v→(t) vx(t) vy(t).
• Exprimer les coordonnées du vecteur position OM→(t) au cours du temps, notées : OM→(t) x(t) y(t).
• Montrer que l’équation de la trajectoire du centre de masse M du ballon peut s’écrire : y(x) = −g/2⋅v02⋅cos2(α) x2+x⋅tan(α)+Hm.

Un tir est considéré comme parfait lorsque le centre de masse M du ballon passe par le centre C de l’arceau du panier, le ballon ne touchant pas le bord de l’arceau.

Lors d’un lancer-franc, on montre (démonstration non demandée) qu’un tir avec un angle initial de 49,5° permet d’obtenir la vitesse initiale v0c la plus faible possible. On souhaite comparer cette vitesse à celle qu’un joueur situé à une distance L = 2 m du panier doit communiquer au ballon.

Deuxième modélisation

Jusqu’à présent, la vitesse à communiquer au ballon a été déterminée à partir d’une seule condition : le centre de masse M du ballon doit passer par le centre C de l’arceau. Il apparaît nécessaire de prendre en compte deux conditions supplémentaires :

• Condition 1 : un ballon qui ne passe pas par le dessus du panier n’est pas valide.
• Condition 2 : un ballon qui rebondit sur le bord du panier avant d’en atteindre le centre ne donne pas un tir parfait.

L’application des deux nouvelles conditions permet de déterminer que l’angle initial minimal pour réaliser un tir parfait au lancer-franc est voisin de 45°. La vitesse initiale du ballon détermine la réussite du lancer.

L'effet Magnus

L'analyse de l’effet Magnus et de la rotation du ballon pourrait montrer comment ces facteurs influencent la trajectoire et la précision du tir. On pourrait comparer les trajectoires avec et sans l'effet et montrer pourquoi il est largement utilisé.

Probabilités et incertitudes

L'introduction des probabilités via les incertitudes est un sujet enrichissant. Les conditions initiales sont trois coordonnées de position et trois de vitesses. Cela fait 6 dimensions. Dans cet espace à 6 dimension, si on a une distribution de probabilité de variance donnée sur ces 6 variables, quelle est l'incertitude résultante sur la position finale du ballon par rapport au panier? On peut traiter cela comme un calcul d'erreurs où les incertitudes initiales sont traitées comme des petites "erreurs".

La loterie de la draft NBA : un exemple de probabilités

Le verdict est tombé le 16 mai 2023 : les Spurs de San Antonio ont obtenu le premier choix de la draft de la NBA, une sorte de petit marché des transferts où chaque équipe pourra choisir à tour de rôle parmi les meilleurs espoirs du basketball. Il faut dire que l’équipe, arrivée dernière ex aequo de la poule de Conférence Ouest, avait plus de chances d’obtenir ce premier choix que toutes les autres… Car oui, dans l’attribution de l’ordre des choix, tout n’est que hasard, et donc mathématique.

Ce championnat de basket est divisé en deux conférences, Est et Ouest, chacun composés de 15 équipes. A l’issue de la première phase du championnat, les 6 meilleures équipes de chaque conférence seront qualifiés pour les Play-Off, un tournoi interne à chaque conférence. 14 équipes restent donc sur le carreau (les 5 moins bien classés et les deux équipes éliminées en play-in pour chaque conférence). En guise de lot de consolation, ces 14 équipes participent à la loterie de la draft.

L’établissement de cet ordre de passage se base sur le tirage de 4 numéros, de 1 à 14. Ces règles d’attribution peuvent toutefois connaître certaines modifications en cas d’égalité entre plusieurs équipes lors de la saison régulière. Une première combinaison est alors tirée au hasard, pour décider de quelle équipe remportera le premier choix de la draft. S’il s’agit de la combinaison 11-12-13-14, alors le tirage est annulé, et on recommence.

Pour obtenir la probabilité d’obtenir le deuxième choix du draft, il faut alors recourir à la formule des probabilités totals. Notons alors \(A_{i,j}\) l’événement « l’équipe classée à la position \(i\) remporte le \(j\)-ème choix du draft ». Nous cherchons la probabilité de l’événement \(A_{28,2}\), les spurs étant classés 28ème au total. Le système \(A_{i,1}\), pour \(i\) allant de 17 à 30, est un système complet d’événements (il y a une et une seule équipe qui remporte le premier choix). D’après la formule des probabilités totales, la probabilité \(\mathbb{P}(A_{28,2})\) est égal à la somme des probabilité \(\mathbb{P}_{A_{i,1}}(A_{28,2}) \times \mathbb{P}(A_{i,1})\), pour \(i\) allant de 17 à 30.

Par exemple, en prenant \(p=\dfrac{266}{1001}\) et \(n=5\), on obtient que la probabilité d’obtenir au moins un tirage valide en 5 essais est d’environ 99.87 %.

Planification de tournois de basket-ball

Les mathématiques aident à l'organisation d'un tournoi en utilisant des techniques de dénombrement. Si on prend le championnat de foot L1... il y a 20 équipes. Il y a 38 journées de championnat (les matchs aller puis les matchs retour), donc disons 19 journées si on ne compte que les matchs aller (19, c'est 20-1, ce n'est pas une coïncidence). Si on compte en matchs aller/retour, chaque équipe doit recevoir une fois chacune des autres : 20x19.

Dans un match de basket chaque équipe a droit à 10 joueurs. Un entraineur a donc mis les noms de ses 10 joueurs sur la feuille de match : A B C D E F G H I et J. On considère que les 10 joueurs sont parfaitement interchangeables. On se moque de savoir si untel est un pivot, un ailier ... De combien de façons peut-il choisir ses 10 joueurs ?

Exemple de dénombrement dans un contexte sportif

Choisir 5 joueurs parmi 10. Il y avait 252 combinaisons. On peut compter les combinaisons où A et B sont sélectionnés tous les 2. On trouve 56.

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